奇函数加偶函数是什么函数，怎么证明？

2024-08-24 10:46:47

hello，大家好这里是摆渡学涯，这次课程咱们来为大家讲一下奇函数与偶函数进行四则运算该如何进行相关的奇偶性的判断以及如何进行相关的证明。帮助高一的学生们在这次期中考试中取得理想的成绩哦。

1 奇函数加偶函数的奇偶性

例题1：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且两者的定义域相同，判断f(x)+g(x)的奇偶性。

解：由题意知f(x)=–f(–x)，g(x)=g(–x)，令h(x)=f(x)+g(x)，则h(x)的定义域关于原点对称。

h(–x)=f(–x)+g(–x)，而h(x)不等于h(–x)，–h(–x)=–f(–x)–g(–x)，即h(x)不等于–h(–x)，因此h(x)为非奇非偶函数。

举例说明：f(x)=x，g(x)=x的平方，h(x)=x+x的平方，h(–x)=–x+x的平方，可以看出h(x)为非奇非偶函数。

2 奇函数减偶函数的奇偶性

例题2：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且两者的定义域相同，判断f(x)-g(x)的奇偶性。

解：由题意知f(x)=–f(–x)，g(x)=g(–x)，令h(x)=f(x)-g(x)，则h(x)的定义域关于原点对称。

h(–x)=f(–x)-g(–x)，而h(x)不等于h(–x)，–h(–x)=–f(–x)+g(–x)，即h(x)不等于–h(–x)，因此h(x)为非奇非偶函数。

举例说明：f(x)=x，g(x)=x的平方，h(x)=x-x的平方，h(–x)=–x-x的平方，可以看出h(x)为非奇非偶函数。

研究国外教育图标

3 偶函数减奇函数的奇偶性

例题3：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且两者的定义域相同，判断g(x)-f(x)的奇偶性。

解：由题意知f(x)=–f(–x)，g(x)=g(–x)，令h(x)=g(x)-f(x)，则h(x)的定义域关于原点对称。

h(–x)=g(–x)-f(–x)=g(x)+f(x)，而h(x)不等于h(–x)，–h(–x)=–f(x)–g(x)，即h(x)不等于–h(–x)，因此h(x)为非奇非偶函数。

举例说明：f(x)=x，g(x)=x的平方，h(x)=x的平方-x，h(–x)=x+x的平方，可以看出h(x)为非奇非偶函数。

从例题3和例题2中的说明，我们可以发现，只要按照定义进行相关的验证就能证明出来，希望大家下去能够自己给以相关的证明哦。自己多找几道练习题进行相关的验证。偶函数减去奇函数的奇偶性和奇函数减去偶函数的奇偶性是不同的概念哦，一定要进行细分。

4 偶函数乘以奇函数的奇偶性

例题4：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且两者的定义域相同，判断f(x)g(x)的奇偶性。

解：由题意知f(x)=–f(–x)，g(x)=g(–x)，令h(x)=f(x)g(x)，则h(x)的定义域关于原点对称。而h(–x)=f(–x)g(–x)=-f(x)g(x)=-h(x)，因此h(x)为奇函数。

留给大家一个小作业，自己举例进行验证一下吧。

商店为腹腔

好了本次课程我们就为大家分享到这里了，咱们下次课再见。如果关于孩子学习方面发问题你还有什么疑问，请在下方为我们留言吧。咱们将第一时间给以您满意的答复哦。